VERSION: 2.0.7
HANDLES: 3つまみ
K1 DEFAULT: 10.0
APPARITIONS: 40上限
EXAMPLES: 3天体
ALBEDO: 0.04核直径の仮定

MAGNITUDE CURVE · [表示] → [光度曲線]

明るくなるのか、ならないのか。

観測された等級から光度式のパラメータを決め、曲線として描く画面です。軌道が「どこを通るか」を答えるのに対して、こちらは「どれくらい明るくなるか」を答えます。ただし軌道計算と違って、この答えはよく外れます。このページでは、操作のしかたと同じくらいの分量を、 出てきた数字をどう扱うかに使います。

§01 FORMULA

光度式と、図の読み方。

彗星の明るさは、太陽からの距離 r と地球からの距離 Δ の2つで決まるものとして扱います。画面の下端には、いま使っている式がそのまま出ています。

COMET彗星の光度式

m₁ = H₁ + 5 log₁₀ Δ + K₁ log₁₀ r

H₁

絶対等級r = Δ = 1 AU に置いたときの明るさです。曲線の高さを決めます。

K₁

活動の強さ太陽に近づくにつれて、どれだけ急に明るくなるかです。曲線の尖り方を決めます。この値ひとつで予想がまるごと変わるので、このページのほとんどは K₁ の話になります。

小惑星

H と G の式［天体の種類］で切り替えます。小惑星は位相角の効き方が彗星とまったく違うので、位相関数 Φ₁・Φ₂ を使う別の式で解きます。切り替える前のパラメータは種類ごとに控えてあり、戻ると復元されます。

図の読み方。 緑の丸が全光度、黄の丸が核光度の観測です。水色の線が当てはめた曲線、 朱色の線はつまみで手を加えた曲線（最小二乗の結果ではない、という印です）。白の破線が近日点、緑の実線が今日。縦軸は下ほど暗く、上ほど明るくなります。

§02 FIRST LIGHT

第一報だけで、計算してみる。

新しい彗星が報じられると、まず知りたくなるのは「どこまで明るくなるのか」です。題材は C/2026 C1 (Tsuchinshan)。発見を報じた MPEC 2026-F119 の観測だけで計算したところ（STEP 2）から、2026年9月6日現在の観測をすべて入れた ところ（STEP 3 以降）まで、順に見ていきます。第一報の段階の空気を、そのまま置いておきたいと思いました。

STEP 1

光度曲線を開く

[表示] → [光度曲線]、またはツールバーのボタンです。軌道決定の画面を開いたままにしておけば、軌道改良で要素が変わるたびに曲線も追いかけます。

OrbitLife の [表示] メニューを開き、[光度曲線(L)] が赤枠で示されている。タイトルバーのファイル名は CK26C010_MPEC-2026-F119.obs。背後の軌道要素の欄に C/2026 C1 (Tsuchinshan) の Peri. 310.71727、Node 3.61873、Incl. 99.59675、平均残差 0.328072 秒角、r = 10.4 AU、Q = 40924.1 AU、V = 13.088 km/s が読める — 読み込んでいるのは MPEC 2026-F119 の観測だけ。それでも平均残差 0.328072 秒角で軌道は決まっています。
近日点通過 **2028年11月6.95731 TT**、q = 1.1524366 AU、e = 0.9999437、 i = 99°.59675。周期 292万7129年（1σ では 21万年から unbounded まで）、遠日点 **Q = 40924.1 AU**。 **オールトの雲から来た彗星**です。

ELEMENTSC/2026 C1 (Tsuchinshan)

ツールバーの光度曲線ボタンにツールチップが出ている。背後の軌道要素に Epoch 2026 Apr. 30.0 TT、T 2028 Nov. 6.95731 TT、q 1.1524366、e 0.9999437、Peri. 310.71727、Node 3.61873、Incl. 99.59675、1/a = 0.0000488696 +/- 0.0002333999、P = 2927129 years が読める

ツールバーのボタンからも開けます。

STEP 2

第一報のデータだけで計算する — あり得ない答えが出たとき

発見が報じられた直後は、観測の弧が短い。するとその間に太陽距離 r がほとんど変わりません。K₁ は log₁₀ r に対する傾きですから、横軸の幅が無いまま縦軸の等級のばらつきだけを説明しようとして、最小二乗は桁違いの K₁ を返します。そのまま描けば、近日点で太陽より明るい彗星という曲線になります。

OrbitLife は、その答えを採りません。実在の彗星の K₁ はおおむね 2〜40 に収まります — 10 前後がもっとも多く、活動の鈍い天体で 2〜5、近日点で急に増光するもので 30〜40。この範囲を外れた値が出たときは「傾きが決まっていない」と判断し、 K₁ = 10.0 を仮定して H₁ だけを解き直します。そして［Kを固定］に自動でチェックが入ります。仮定値で描いていることを画面に出すためです。

MPEC 2026-F119 の観測だけで計算した C/2026 C1 の光度曲線。H=4.21、K=10.0、RMS 0.398。［Kを固定］にチェックが入り、K の入力欄とともに赤枠で囲まれている。近日点での曲線の頂点は4等台 — H₁ = 4.21、K₁ = 10.0、RMS 0.398。 **［Kを固定］にチェックが入っているのは、押したからではありません。** あり得ない K₁ が出たので、そうなったのです。

どれくらい桁違いになるのか

開発中に実際に出た例です。C/2026 L2 は発見直後の 38 日の弧で log₁₀ r の幅が 0.0066 しかなく、等級のばらつき 2.4 等をそれで割って K₁ = −200 が出ました。符号は散らばりの並び方で決まるだけなので、負の値も普通に起きます。K₁ が負だと「太陽から遠いほど明るい」式になり、近日点を過ぎた彗星が際限なく増光する曲線が描かれてしまいます。

STEP 3

まあ、待ってください

観測があるのは発見からの数か月ぶんだけです。画面の軌道要素にあるとおり、この彗星はまだ太陽から 10.4 AU。近日点の 1.15 AU まで、2年2か月あります。 K₁ は log₁₀ r に対する傾きなのに、その log₁₀ r がまだほとんど動いていません。
K₁ = 26.3 について言えるのは、STEP 2 の 2〜40 の中には収まっている — だから自動の置き換えが働かなかった — ということだけです。 あり得ない値ではない、というだけで、正しい値だということではありません。

STEP 4

K₁ = 10.0 に固定して、当てはめ直す

今度は自分で［Kを固定］にチェックを入れて 10.0 と打ち、[フィット] を押します。画面にも「観測が少ないときはK=10.0を推奨」と出ています。K₁ を押さえると、観測に合わせられるのは高さ（H₁）だけになります。

K を 10.0 に固定した C/2026 C1 の光度曲線。H=4.03、K=10.0、RMS 0.425。観測点の帯に曲線が沿い、近日点の頂点は4等台 — m₁ = 4.03 + 5 log₁₀ Δ + 10.0 log₁₀ r。近日点で **4等台**。RMS は 0.364 から 0.425 へ、わずかに悪くなっただけです。 **同じ観測が、マイナス10等の解も4等台の解も許してしまう** — これが近日点まで2年ある段階ということです。

STEP 5

では、どこまで期待してよいのか

ここから先は計算ではなく判断です。ただし手がかりはあります。

この彗星は Q = 40924.1 AU、e = 0.9999437。オールトの雲から初めて内側へ来た彗星 （力学的に新しい彗星）と考えてよい軌道です。そして新しい彗星と、太陽を何周もしてきた彗星とでは、明るさのふるまいが統計的に違うことが分かっています。

272個の彗星の統計	力学的に新しい彗星	回帰を重ねた彗星
明るさ（m₁ の中央値）	9.4	12.7
K₁ にあたる量の中央値	12.3	14.8
3 AU の外での傾き	約 13	—
3 AU の内での傾き	約 7	—

Lacerda ほか (2025)、§05 に出典。単位は mag / log(AU) で、OrbitLife の K₁ と同じ量です。

期待してよい理由。新しい彗星は、回帰を重ねた彗星より中央値で 3.3 等明るい。太陽の熱を受けたことのない揮発性の高い物質を表面に持っていて、遠いうちから活動を始めるためと考えられています。C/2026 C1 に当てはめている K₁ = 10.0 は、新しい彗星の中央値 12.3 より控えめな値です。つまり 4等台という数字は、下振れの側に寄せた見積もりだと考えてよい。ここまでは、根拠のある期待です。

それでも慎重であるべき理由。同じ統計は、逆のことも言っています。新しい彗星の増光は、むしろゆるやかです。K₁ の中央値は 12.3。回帰を重ねた彗星の 14.8 より小さい。しかも新しい彗星の傾きは 3 AU の外では約 13、内側に入ると約 7 まで鈍ります。「遠いうちは明るい」ことと「近日点で明るくなる」ことは、別のことなのです。
そう考えると、STEP 3 で出た K₁ = 26.3 は、どちらの中央値の2倍以上。まだ狭い log₁₀ r の幅の中での傾きが、たまたまそう出ただけと見るのが妥当です。

結論

K₁ = 10.0 の4等台を「控えめな見積もり」として持ち、そこから上を静かに期待する

K₁ = 26.3 は上限としてすら扱いません。統計が言えるのは集団の中央値までで、 この1個の彗星がどうなるかは何も言っていないからです。彗星の光度予想は、何十年やっても外れます。崩壊することも、突然増光することもあります。数字は観測が伸びるたびに置き換えてください。 いま出せるのは「いまの観測に合う光度式」であって、「この彗星の未来」ではありません。 — 最後の判断と同じ態度です。

§03 HANDLES

3つのつまみで、曲線を動かす。

最小二乗が返す1本の曲線は、全部の観測をならした答えです。 「この部分に合わせたい」という見方をするための道具が、曲線の上に載っている 3つのオレンジ色のつまみです。題材は C/2025 K1 (ATLAS)。

両端のつまみ

傾きを変える上下に動かすと、両端の2点を通る式として H₁ と K₁ を解き直します。曲線の尖り方そのものが変わります。基準にする日付は表示中のズーム範囲ではなく観測データの日付範囲に固定してあるので、拡大しても効き方が変わりません。

中央のつまみ

高さを変える近日点の上に載っています。K₁ は変えず H₁ だけ動かすので、曲線は形を保ったまま上下に平行移動します。

［Kを固定］中

両端も平行移動になる傾きを固定しているのですから当然です。つまんだ側の日付を支点にして、曲線全体が上下します。

朱色の曲線

手を加えた印つまみで動かすと、曲線が水色から朱色に変わります。これは最小二乗の答えではないという表示です。[フィット] を押せば水色に戻ります。

まず [フィット] の結果を見る

H₁ = 11.95、K₁ = 8.8、RMS 0.564。近日点を過ぎたあたりから、観測が曲線より急に下（暗い側）へ離れていきます。この彗星は近日点通過後に急激に減光しました。

C/2025 K1 (ATLAS) の光度曲線。H=11.95、K=8.8、RMS 0.564。2025/10/8 の近日点に向けて観測点が明るくなり、近日点後は観測点が曲線より下（暗い側）へ大きく外れて散らばっている。曲線の左端・近日点・右端にオレンジ色の丸いつまみがある — オレンジの丸が3つ — 左端・近日点・右端。それぞれに上下の矢印が添えてあります。

［核光度も使う］を入れる

フィットに黄の点も含めます。H₁ = 14.23、K₁ = 3.9、RMS 0.941。 曲線が寝てしまいました。数の多い核光度に引かれた結果です。

［核光度も使う］にチェックを入れた C/2025 K1 の光度曲線。H=14.23、K=3.9、RMS 0.941。曲線が平らになり、近日点の頂点が13等付近まで下がっている — どの観測を使うかで、答えはここまで動きます。§05 で改めて。

両端のつまみで、傾きを合わせる

左端と右端をつまんで上下させ、近日点前の観測の並びに沿わせます。 H₁ = 13.10、K₁ = 6.1、RMS 1.238。曲線が朱色に変わりました。

両端のつまみをドラッグして調整した C/2025 K1 の光度曲線。曲線が朱色になり、H=13.10、K=6.1、RMS 1.238。左端と右端のつまみが赤い丸で囲まれている — RMS は 0.941 から 1.238 へ上がります。 **全体に合わなくなる代わりに、見たい部分に合う**ということです。

中央のつまみで、近日点の高さを合わせる

近日点のつまみを上へ引き、近日点を過ぎて急激に減光している核光度のほうへ曲線を寄せていきます。行き着いたのは H₁ = 14.00、K₁ = 13.4、RMS 2.123。

近日点のつまみを赤い丸で囲んで引き上げた C/2025 K1 の光度曲線。朱色の曲線が近日点で鋭く尖り、H=14.00、K=13.4、RMS 2.123。近日点後の急激に暗くなる観測点の並びに曲線が沿っている — RMS 2.123。**1本の光度式では、この彗星の前半と後半を同時には表せません。** つまみは、そのことを目で確かめるための道具でもあります。

そのほかのマウス操作

ホイールで横軸の拡大縮小、グラフの中をドラッグで左右に移動、 近日点の縦線をドラッグで範囲を変えずに近日点の位置だけを動かせます。 左の目盛りをドラッグすると、明るい側だけを画面の外まで広げられます（曲線が観測より明るい側へはみ出すときに使います）。 [現在へズーム] は今日を中央にして前後1年へ切り替えます。

§04 APPARITIONS

回帰ごとに比較する。

周期彗星は、回帰（近日点通過）のたびに活動の強さが変わります。「前回は明るかったのに、今回は暗い」を目で確かめるための表示です。題材は 121P/Shoemaker-Holt。

ふつうに描くと

1987年から2059年までを1枚に収めました。回帰のたびに山ができています。観測のある4回の山を見比べると、回帰を追うごとに低くなっていることが感じられると思います。

121P/Shoemaker-Holt の光度曲線。1987年から2059年まで、回帰ごとの山が並んでいる。緑と黄の観測点の集まりが回帰を追うごとに暗い側へ下がっており、その傾向をなぞる赤い直線が説明のために引かれている。H=8.32、K=10.0 固定、RMS 2.914 — 赤い直線は、説明のために引いた補助線です（画面には出ません）。左上から右下へ — **回帰ごとに暗くなっています。**

ただしこの見方には限界があります。山の高さには、地球との距離（Δ）のたまたまが混ざっているからです。近くで迎えた回帰は明るく、遠くで迎えた回帰は暗く見えます。

［回帰ごとに比較］を入れる

横軸が近日点からの日数、縦軸が m − 5 log Δ（地心距離の影響を除いた等級）に変わります。これで回帰どうしを直接重ねて比べられます。凡例には回帰ごとの H・K が並びます。

121P の回帰ごとの比較表示。横軸は近日点からの日数、縦軸は m − 5 log Δ。摂動計算: 5回帰／接触要素342組(40日ごと)、位置のずれ RMS 0.8秒角と表示されている。凡例に 1988年、1996年 H=-2.3 K=35.9、2004年 H=5.0 K=23.2、2013年 H=13.2 K=8.1、2023年(全光度なし) が色分けで並び、回帰ごとの曲線と観測点が重ねて描かれている — 1996年 H=−2.3 K=35.9 · 2004年 H=5.0 K=23.2 · 2013年 H=13.2 K=8.1。見出しの下に **摂動計算: 5回帰／接触要素342組(40日ごと)／位置のずれ RMS 0″.8** と出ています。

なぜ摂動計算が要るのか

木星族彗星の軌道は、木星に近づくたびに変わります。121P は 2004年と2013年の回帰の間に、周期が 8.01年から 9.94年へ、近日点距離が 2.65 AU から 3.76 AU へ変わりました。いまの軌道要素1組を2体問題で30年前まで外挿すると、軌道上の位置が数年ぶんずれ、 r も Δ も意味を持たなくなります。
そこで摂動を入れた数値積分で元期を各回帰まで移し、回帰ごとの接触軌道要素を持ちます。観測期間を40日ごとに横切りながら要素を控えるので、どの観測も元期から百日ほどの範囲で計算でき、位置のずれは 0″.8 に収まっています。 この数字が大きいときは、比較そのものを疑ってください。

［観測データ］を外して、曲線だけにする

点を消すと、回帰ごとの形の違いだけが残ります。 1996年の山がいちばん高く鋭く、2004年がそれに次ぎ、2013年と2023年は 山と呼べる形をしていません。

観測データの表示を外した 121P の回帰ごとの比較。1996年の橙の曲線がいちばん高く鋭い山を作り、2004年の緑がそれに次ぎ、2013年の桃色と2023年の曲線はほとんど平らに寝ている — K が 35.9 → 23.2 → 8.1 と落ちていく様子が、そのまま形に出ています。 **この彗星は、回帰のたびに活動が弱くなっている。**

［回帰ごとに比較］を外す

ふつうの表示に戻りますが、各回帰の近日点通過日が緑の点線と日付で残ります。一度計算したものを捨てないためです。

回帰ごとの比較を外した 121P の光度曲線。図の上端に 1988/8/8、1996/8/20、2004/9/2、2013/9/17、2023/9/27、2033/4/20、2043/2/12、2052/12/6 の日付が緑で並び、それぞれの位置に緑の縦の点線が引かれている — 1988/8/8 · 1996/8/20 · 2004/9/2 · 2013/9/17 · 2023/9/27 · 2033/4/20 · 2043/2/12 · 2052/12/6。 **間隔が 8年から 9〜10年へ延びています** — 木星の摂動で周期が変わった、その記録です。

緑の実線が今日、緑の点線が各回帰の近日点です。小惑星のときは、山が近日点ではなく衝のころに来るので、緑の点線は衝に引かれます。

§05 WHICH OBSERVATIONS

どの観測を、光度式に使うか。

等級は、位置に比べて観測者によるばらつきがずっと大きい量です。だから「どれを使うか」は自動では決められません。既定を決めたうえで、 選び直せるようにしてあります。

［リジェクトも使う］

既定はオフ軌道計算では残差が3秒角ずれただけで外すことも多いのですが、位置が少しずれている観測でも、等級は使えます。逆に残差が60秒角もあれば別の星を測っている疑いが濃く、等級も信用できません。この線引きは天体と観測の集まり次第なので、判断を渡してあります。

［核光度も使う］

既定はオフAstrometrica で測光するとき、実際にはコマ全体を囲む測定円で測っているのに、報告の等級種別を核光度にしている観測者が少なくありません。とくに観測システムにとって暗い天体で。つまり「核光度と書いてあるから全光度ではない」とは言い切れない。既定は全光度だけで解き、必要なら含められるようにしてあります。

［観測データ］

既定はオン観測の丸印を描くかどうかです。フィットには影響しません。回帰ごとの形の違いを比べるときに外します。

核直径

上限として核光度が3点以上あるとき、その当てはめから核の直径の上限を見積もって右下に出します。反射率 p = 0.04 を仮定した値で、使った点数と K2 を括弧に添えてあります。コマの光がどうしても混ざるので、これは上限であって直径そのものではありません。

§06 OUTPUT

求めた光度式を、次へ渡す。

[位置推算へ]

推算に反映するいま求まっている H₁・K₁（小惑星なら H・G）を位置推算の画面へ書き込みます。先に [フィット] を実行し、位置推算の画面を開いておいてください。

[コピー]

図を画像として持ち出すグラフをそのままクリップボードへ送ります。観測報告やウェブページに貼れます。

[現在へズーム]

今日の前後1年へ長い期間を見ていたあと、いまのところへ戻るためのボタンです。

ⓘ マーク

その場で解説が開く光度式・彗星と小惑星で式が違う理由・回帰ごとの比較・どの観測を使うか・核直径の見積もり方。それぞれに ⓘ が付いています。

観測データを持たない天体でも、彗星一覧から選べばカタログの H₁・K₁ で予測曲線だけを描けます。観測点は無いので、フィットは行いません。

§07 NEXT

となりの画面。

ORBIT DIAGRAM

軌道図

求まった軌道を太陽系の図に落として見る画面。操作とアニメーション、地心モードまで。

→ 軌道図

FEATURES

9つの機能

観測データの取得から軌道決定、地球儀・観測好期チャートまで。

→ 機能

JUDGMENT

最後の判断

観測に合っていることと、その予想が当たることは別です。

→ 最後の判断

ダウンロード使い方を見る

§08 SOURCES

§02 の統計について。

光度式のパラメータ・RMS・軌道要素・回帰ごとの H と K は、すべて上の画面のとおり OrbitLife で計算した値です。新しい彗星と回帰を重ねた彗星の違いは、次によります。

STATISTICS

Secular brightness curves of 272 cometsP. Lacerda, A. Guilbert-Lepoutre, R. Kokotanekova, L. Inno, E. Mazzotta Epifani, C. Snodgrass、Astronomy & Astrophysics 697, A210 (2025)。272個の彗星の光度曲線から、力学的に新しい彗星と回帰を重ねた彗星の明るさ・傾きの違いを求めた論文です。aanda.org · A&A 697, A210

OBSERVATIONS

MPEC 2026-F119C/2026 C1 (Tsuchinshan) の発見を報じた回報。§02 の STEP 2 で使った観測です。STEP 3 以降は 2026年9月6日現在の観測を使っています。